Für mich sieht es so aus als hast du sowohl eine SSL-verschlüßelte Webseite als eine unverschlüßelte Webseite auf der gleiche Domain. Das kann nur in die Hose gehen. Lösche mal via ein externes FTP-Programm wie zB WinSCP oder Filezilla alles was auf deinem Webserver steht und erstelle dann noch mal die Seite und lade sie hoch auf einen jungfraulichen Server.
Der Lösungsvorschlag war/ist absolut korrekt, aber eine Problemursache "eine SSL-verschlüsselte Webseite als auch eine unverschlüsselte Webseite auf der gleichen Domain" gibt es in dieser Form nicht. Insofern keine https-Weiterleitung aktiv geschaltet ist, läuft eine Domain eben sowohl SSL-verschlüsselt als auch unverschlüsselt gleichzeitig, das ist völlig normal.
Die tatsächliche Ursache des Problems war ganz offensichtlich eine index.php der alten Website und die index.html der neuen Website parallel nebeneinander im Rootverzeichnis der Domain. Die index.php hat bei Aufruf des Rootverzeichnisses ohne gezielte Dateiangabe dann Vorrang und zeigt weiterhin den alten, dann jedoch un- bzw. falsch formatierten Inhalt an (da CSS-Dateien entweder nicht existent oder völlig unpassend).
@Bibserich:
https / SSL erzwingen solltest Du via .htaccess Datei (im Root der Domain):
<IfModule mod_rewrite.c>
RewriteEngine On
RewriteBase /
RewriteCond %{SERVER_PORT} !=443 [OR]
RewriteCond %{HTTP_HOST} !^(www\.bodensee-idylle\.de)?$ [NC]
RewriteRule (.*) https://www.bodensee-idylle.de/$1 [R=301,L]
</IfModule>
Desweiteren solltest Du in den Veröffentlichungseinstellungen Deines Projekts unter HTTP Target-URL https://www.bodensee-idylle.de/ eintragen. Dann neu erstellen sowie veröffentlichen und gut ist.